生姜发芽是可以继续食用的，因为生姜发出的芽是没有毒性的，所以不会对身体健康造成影响。但如果生姜已经腐烂和变质，这种情况下就不可以继续食用。目前着凉后出现咳嗽和发热的症状可以饮用生姜水来缓解，可最好配合药物进行治疗，必要情况下需要服用退烧药物，同时需要服用祛风散寒的药物来控制病情。